Halbleitertechnologie von A bis Z

Ein Transistor hat drei Anschlüsse, und sein Verhalten hängt von zwei Spannungen und zwei Strömen ab. Um diese Abhängigkeiten übersichtlich darzustellen, werden sie in Kennlinienfelder aufgelöst: Eine Kennlinie zeigt den Zusammenhang zweier Größen, während eine dritte als Parameter festgehalten wird. Für den Bipolartransistor sind das die Eingangskennlinie I_B(U_BE), die Übertragungskennlinie I_C(U_BE) bzw. I_C(I_B) und das Ausgangskennlinienfeld I_C(U_CE) mit I_B als Parameter. Beim MOSFET entfällt die Eingangskennlinie, da der Gatestrom im statischen Betrieb praktisch null ist; es bleiben die Übertragungskennlinie I_D(U_GS) und das Ausgangskennlinienfeld I_D(U_DS) mit U_GS als Parameter.

Kennlinien beschreiben das Bauelement allein. Erst die äußere Beschaltung legt fest, an welcher Stelle der Kennlinie der Transistor tatsächlich arbeitet. Für einen Widerstand R_L zwischen Versorgungsspannung U_DD und Drain gilt U_DS = U_DD − I_D·R_L – eine Gerade im Ausgangskennlinienfeld, die Lastgerade. Ihr Schnittpunkt mit der Kennlinie zur gerade anliegenden Gatespannung ist der Arbeitspunkt. Verändert sich U_GS, wandert der Arbeitspunkt entlang der Lastgeraden; genau diese Bewegung ist der Verstärkungsmechanismus eines Transistors. Die Lage des Arbeitspunkts entscheidet, ob ein Transistor als linearer Verstärker, als Schalter oder als Stromquelle wirkt.

Transistorgleichungen sind mathematische Näherungen, die diese Kennlinien mit wenigen Parametern beschreiben. Sie erlauben die Handrechnung von Schaltungen, sind aber Modelle mit begrenztem Gültigkeitsbereich. Die Modelle in Schaltungssimulatoren wie SPICE sind deutlich komplexer, bauen jedoch auf denselben Grundgleichungen auf.

Der grundlegende Aufbau eines Bipolartransistors wird im Kapitel Aufbau eines npn-Transistors behandelt; hier geht es um sein elektrisches Verhalten im Betrieb.

Die Eingangskennlinie eines npn-Transistors ist die Diodenkennlinie des in Durchlassrichtung betriebenen Basis-Emitter-Übergangs: Der Basisstrom steigt exponentiell mit U_BE, nennenswert erst ab etwa 0,6 V bei Silicium. Weil der Kollektorstrom über die Stromverstärkung B an den Basisstrom gekoppelt ist, hat auch die Übertragungskennlinie I_C(U_BE) exponentiellen Verlauf. Eine Änderung von U_BE um nur 60 mV verzehnfacht den Kollektorstrom bei Raumtemperatur – der Bipolartransistor ist ein extrem steiler, aber auch temperaturempfindlicher Wandler von Spannung in Strom.

Das Ausgangskennlinienfeld I_C(U_CE) zeigt für jeden Basisstrom eine Kurve, die bei kleinen U_CE steil ansteigt und dann in einen nahezu waagerechten Ast übergeht. Der steile Bereich unterhalb von etwa 0,2 V ist der Sättigungsbereich: Beide pn-Übergänge sind in Durchlassrichtung gepolt, der Transistor verhält sich wie ein geschlossener Schalter mit geringer Restspannung U_CEsat. Im waagerechten Ast, dem aktiven Bereich, ist der Basis-Kollektor-Übergang gesperrt, und der Kollektorstrom wird fast ausschließlich vom Basisstrom bestimmt – hier arbeitet der Transistor als Verstärker. Der leichte Anstieg der Kurven im aktiven Bereich ist der Early-Effekt: Mit wachsender U_CE dehnt sich die Raumladungszone des Kollektorübergangs in die Basis aus, die effektive Basisweite schrumpft und der Kollektorstrom steigt. Verlängert man die Kurven nach links, schneiden sie die Spannungsachse näherungsweise in einem gemeinsamen Punkt, der Early-Spannung −U_A (typisch 50 bis 150 V).

Ohne Basisstrom fließt nur ein vernachlässigbarer Reststrom – der Transistor sperrt. Bei zu hoher Kollektor-Emitter-Spannung setzt schließlich der Lawinendurchbruch des Kollektorübergangs ein; die Durchbruchspannung U_CEO markiert die obere Grenze des zulässigen Arbeitsbereichs.

Im aktiven Bereich folgt der Kollektorstrom der Shockley-Gleichung des Basis-Emitter-Übergangs:

I_C = I_S · (exp(U_BE / U_T) − 1) ≈ I_S · exp(U_BE / U_T)

Der Sättigungssperrstrom I_S ist eine Bauelementkonstante im Bereich von 10⁻¹⁵ bis 10⁻¹² A und hängt von Emitterfläche, Basisdotierung und Basisweite ab. Die Temperaturspannung U_T = k·T/q beträgt bei 300 K rund 26 mV; sie ist der Grund, warum die Kennlinie so steil ist und warum sich Bipolartransistoren so stark mit der Temperatur verändern. Der Basisstrom ergibt sich aus I_B = I_C / B mit der Gleichstromverstärkung B (in Datenblättern meist h_FE), die je nach Typ zwischen 50 und einigen Hundert liegt. Der Emitterstrom ist die Summe beider: I_E = I_C + I_B = I_C · (1 + 1/B).

Der Early-Effekt wird durch einen Korrekturfaktor berücksichtigt:

I_C = I_S · exp(U_BE / U_T) · (1 + U_CE / U_A)

Aus dieser Gleichung folgt unmittelbar der Ausgangswiderstand im aktiven Bereich, r_CE ≈ U_A / I_C – bei 1 mA Kollektorstrom und U_A = 100 V also rund 100 kΩ. Die Grenze zur Sättigung liegt dort, wo U_CE unter U_BE fällt und der Kollektorübergang leitend wird; im Sättigungsbereich gilt die Exponentialgleichung nicht mehr, und der Kollektorstrom wird durch die äußere Schaltung, nicht durch den Transistor begrenzt.

Das vollständige Gleichungssystem für alle vier Betriebsarten (aktiv, invers, Sättigung, gesperrt) liefert das Ebers-Moll-Modell von 1954, das den Transistor als zwei gegeneinander geschaltete Dioden mit gesteuerten Stromquellen beschreibt. Für die Handrechnung genügt fast immer die obige Näherung des aktiven Bereichs.

Der grundlegende Aufbau eines MOSFETs wird im Kapitel Aufbau eines n-Kanal-FET behandelt; hier geht es um sein elektrisches Verhalten im Betrieb.

Die Übertragungskennlinie I_D(U_GS) eines n-Kanal-Anreicherungs-MOSFETs bleibt bis zur Schwellspannung U_th praktisch bei null und steigt darüber zunächst quadratisch an. Die Schwellspannung ist die Gatespannung, bei der sich an der Oxid-Halbleiter-Grenzfläche eine Inversionsschicht bildet und ein leitfähiger Kanal zwischen Source und Drain entsteht; sie liegt bei modernen Logiktransistoren zwischen 0,2 und 0,5 V, bei Leistungs-MOSFETs bei 2 bis 4 V. Ein Verarmungs-MOSFET hat dagegen eine negative Schwellspannung und leitet bereits bei U_GS = 0; seine Übertragungskennlinie ist lediglich nach links verschoben – einen Überblick über die verschiedenen Gate-Prinzipien und Betriebsarten gibt das Kapitel FET-Familien im Überblick. Trägt man I_D logarithmisch auf, zeigt sich, dass der Strom unterhalb von U_th nicht abrupt endet, sondern exponentiell abfällt – der Unterschwellbereich, der für Leckströme und Ultra-Low-Power-Schaltungen entscheidend ist.

Das Ausgangskennlinienfeld I_D(U_DS) gliedert sich in zwei Bereiche. Für kleine Drain-Source-Spannungen steigt der Strom nahezu linear mit U_DS – der Transistor verhält sich wie ein durch das Gate steuerbarer Widerstand, weshalb dieser Abschnitt Widerstands- oder Triodenbereich heißt. Mit wachsender U_DS nimmt die Spannung zwischen Gate und dem drainseitigen Kanalende ab, der Kanal wird dort dünner, und bei U_DS = U_GS − U_th schnürt er sich am Drain vollständig ab. Ab diesem Punkt bleibt der Strom nahezu konstant: der Sättigungsbereich. Die Bezeichnung ist historisch bedingt und irreführend, denn sie bezeichnet beim MOSFET genau den Bereich, der beim Bipolartransistor „aktiv" heißt – beim Bipolartransistor meint Sättigung dagegen den Schalter-Zustand bei kleiner U_CE.

Die Grenze zwischen beiden Bereichen bildet eine Parabel I_D = (β/2) · U_DS² durch die Abschnürpunkte aller Kennlinien. Wie beim Bipolartransistor steigen die Kurven im Sättigungsbereich leicht an, hier durch die Kanallängenmodulation: Der Abschnürpunkt wandert mit wachsender U_DS in Richtung Source, der effektive Kanal wird kürzer und der Strom größer.

Das einfachste analytische Modell des Langkanal-MOSFETs geht auf Shockley zurück und ist als Level-1- oder Shichman-Hodges-Modell in jedem Simulator hinterlegt – dieselbe quadratische Grundform findet sich auch bei der Sättigungsstromgleichung des Sperrschicht-FETs (JFET). Im Widerstandsbereich (U_DS < U_GS − U_th) gilt:

I_D = β · [(U_GS − U_th) · U_DS − U_DS² / 2]

Im Sättigungsbereich (U_DS ≥ U_GS − U_th):

I_D = (β/2) · (U_GS − U_th)² · (1 + λ · U_DS)

Der Verstärkungsfaktor β = µ_n · C_ox · W/L bündelt alle Technologie- und Geometriegrößen: die Beweglichkeit µ_n der Elektronen im Kanal, die flächenbezogene Gateoxidkapazität C_ox = ε_ox / t_ox und das Weiten-Längen-Verhältnis W/L. Der Schaltungsentwickler kann nur W/L wählen; µ_n und C_ox sind durch den Prozess festgelegt. Der Parameter λ (typisch 0,01 bis 0,1 V⁻¹) beschreibt die Kanallängenmodulation und ist das Gegenstück zur Early-Spannung: 1/λ entspricht U_A. Die Differenz U_GS − U_th wird als Overdrive-Spannung U_ov bezeichnet und ist die zentrale Entwurfsgröße für den Sättigungsbereich.

Unterhalb der Schwellspannung folgt der Strom einem exponentiellen Gesetz:

I_D ≈ I₀ · exp((U_GS − U_th) / (n · U_T))

mit dem Subthreshold-Faktor n zwischen 1 und 1,5. Die Steigung wird als Subthreshold Swing S = n · U_T · ln 10 angegeben, bei Raumtemperatur also mindestens 60 mV pro Dekade. Dieser physikalische Grenzwert bestimmt, wie weit sich U_th absenken lässt, ohne den Sperrstrom unzulässig zu erhöhen – einer der Hauptgründe, warum die Versorgungsspannung digitaler Schaltungen nicht beliebig sinken kann. Liegt zwischen Source und Substrat eine Sperrspannung U_SB, steigt die Schwellspannung durch den Body-Effekt um γ · (√(2φ_F + U_SB) − √(2φ_F)), mit dem Substratsteuerfaktor γ und dem Fermi-Potential φ_F.

Für den Verstärkerentwurf interessiert nicht die vollständige Kennlinie, sondern ihr Verhalten in unmittelbarer Umgebung des Arbeitspunkts. Dort lässt sich die Kennlinie durch ihre Tangente ersetzen, und aus den Gleichungen folgen die Kleinsignalparameter durch Differenzieren. Die Steilheit g_m gibt an, wie stark der Ausgangsstrom auf eine kleine Änderung der Eingangsspannung reagiert. Beim Bipolartransistor ist sie proportional zum Kollektorstrom, g_m = I_C / U_T – bei 1 mA also etwa 38 mS, unabhängig vom Bauelement. Beim MOSFET in Sättigung gilt g_m = β · U_ov = 2 · I_D / U_ov; sie wächst nur mit der Wurzel des Drainstroms und liegt bei gleichem Strom typischerweise um eine Größenordnung unter der des Bipolartransistors. Der Ausgangswiderstand r_o = U_A / I_C bzw. 1 / (λ · I_D) begrenzt die maximal erreichbare Spannungsverstärkung einer Stufe auf g_m·r_o, die sogenannte intrinsische Verstärkung.

Die einfachen Gleichungen gelten für Kanallängen oberhalb von etwa einem Mikrometer. Bei kürzeren Kanälen erreichen die Ladungsträger schon bei moderaten Feldstärken ihre Sättigungsgeschwindigkeit, und der Drainstrom steigt nicht mehr quadratisch, sondern nur noch linear mit der Overdrive-Spannung. Hinzu kommen Drain-induzierte Barrierenabsenkung (DIBL), bei der U_th mit steigender U_DS sinkt, sowie Beweglichkeitsdegradation durch das hohe vertikale Feld unter dem Gate. Simulationsmodelle wie BSIM4 oder BSIM-CMG für FinFETs erfassen diese Effekte mit mehreren Hundert Parametern, die von den Halbleiterherstellern durch Messung an Teststrukturen extrahiert und als Process Design Kit an die Schaltungsentwickler weitergegeben werden. Für das Verständnis von Schaltungen bleiben die Gleichungen dieses Kapitels dennoch die Grundlage: Sie liefern die richtigen Tendenzen und Größenordnungen, auch wenn die Zahlenwerte im Nanometerbereich nur noch qualitativ stimmen.